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05

5月

方程有什么用?

  • By iangoo

或许你会疑惑,为什么如此简单的一道题,却非要用那么麻烦的方法去求解。

小明从一个口袋里拿出了4个苹果,袋子里还剩3个苹果,问袋子里原来有几个苹果?

解:设袋子里原来有x个苹果,则:

x-4=3

解得x=7.

∴袋子里原来有7个苹果

这本来是极其简单的一道题,都是原来放在袋子里的苹果,拿出来4个还剩3个,那么很明显原来袋子里应该有4+3=7个苹果。

为什么还需要列方程呢?

这就要涉及到一个很重要的数学分支——代数。

小学阶段学的“数学”,其实绝大部分内容属于最基础的数学——算数。到了初中,则会接触到代数和几何。数学,是一个深不见底的学科,除了算数、代数、几何,还有分析、拓扑等等分支。 而代数正是真正的数学的入门。

所谓的“代数”,指的是用一个符号去“代表数字”。我们看一个算式,比如1+1=2,其中1和2都是数字,而加号和等号都是数字之间的关系,这个算式的意思是两个1加起来的数值与2相等。那么我们用符号来代表这里的数字,可以写成a+b=c。看,这个“算式”里,所有的数字都消失了,只剩下了数字之间的关系:c等同于a和b之和。

代数的精髓就在这里,它不再关注数字本身,而是专注于数字之间的关系

之所以你会觉得很多时候用代数方法列方程解决问题很烦,是因为你在题目当中遇到的数字关系还不够复杂。

还是拿上面的袋子里拿苹果来说。这种很简单的数字关系可以很轻松地逆推为加法运算,但是细想一下,方程式里体现的关系才是“顺”的。从一个未知的数字里减去(拿走)4,剩下3,正好对应着方程当中的减法运算关系。而4+3=7的简单、快速的算法,反倒是这个减法关系的推导。只是这种一个减法的数字关系太过于简单,导致感觉上方程反而麻烦。

但是当数字之间的关系变得复杂之后,方程的优势就体现出来了。一个很经典的例子就是鸡兔同笼问题。

1500年前的《孙子算经》里记载了这个问题:

今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?

翻译过来就是:

有若干只鸡和若干只兔子关在一个笼子里,从上面数有35个头,从下面数有94只脚,问鸡和兔子各有几只?

在一千多年前,这是顶级数学家研究的东西。而且这些数学大师给出的算法确实很精妙:

假设,让兔子和鸡同时抬起两只脚。那么这时候,剩下来所有的脚都是兔子脚,而且一只兔子两只脚。

由于兔子和鸡总共有35只,每只都抬起两只脚,那么总共抬起了35×2=70只脚,剩下来的都是兔子脚为94-70=24只脚,每只兔子两只脚,所以兔子的总数为24÷2=12只。

兔子和鸡总共35只,那么鸡的数量就是35-12=23只。

这里的推导过程直观吗?小学里解这道题,要么用这样的“思考方法”,要么就是死记硬背公式。但是到了代数的世界里,一切都会变得非常简单、直白。

假设有c只鸡,r只兔子(虽然一般情况下喜欢用x、y但是其实任何符号都可以)。

c和r具体是多少我们不知道,但是没关系,还记得我们说过的吧,代数关注的是数字之间的关系,而不是数字本身。

有35个头,鸡和兔子都是1个头,那么可以得到第一个数字之间的关系:c+r=35

总共94只脚,鸡两只脚,兔子四只脚,那么可以得到第二个数字之间的关系:2c+4r=94

有了这两个算式,我们就可以得到一个方程:

    \[\begin{cases} c+r=35\\ 2c+4r=94 \end{cases}\]

这个和你们现在学的最简单的方程有些不一样,这个方程在初中会学到,叫做二元一次方程组。这里的“元”指的是未知数字的数量,而“次”指的是几次方。

我们既然用符号来代表数字,那么符号自然可以和数字一样进行各种运算变换,方程的解法就是基于这种运算变换得来的,如x-4=3,可以变换为x=3+4=7,这就是运算变换。上面的这个二元一次方程看起来复杂,但是解法也是一样的。

c+r=35,我们可以得出c=35-r,然后我们将这个c代入到第二个方程,就可以得到:

    \[2c+4r=94\]

    \[c=35-r\]


    \[\therefore 2\cdot(35-r)+4r=94\]


    \[70-2r+4r=94\]


    \[70+2r=94\]


    \[2r=94-70=24\]


    \[r=12\]


    \[c=35-r=23\]


还有别的解法:

    \[\because c+r=35\]

    \[\therefore 2(c+r)=2c+2r=70\]

我们可以用第二个方程整个减2c+2r=70

    \[(2c-2c)+(4r-2r)=(94-70)\]


    \[2r=24\]


    \[r=12\]


    \[c=35-12=23\]

方程的解法看起来很复杂,但是上过初中之后,这就是很基础的技能了,关键在于从题目得到方程的那个过程。我们只是假设了两个代表数字的符号,然后完全顺着题目的思路,列出了两个方程构成了一个方程组。然后只需要解这个方程就行了。

我们将一个具体的问题,变成数学上的方程,这就是数学的关键——抽象。抽象的意义就在于只要有了一个抽象的模型,其他同类的问题都可以用一个固定的套路来解决,这正是人类文明发展的基础。

就如同上面我们用二元一次方程组解决了鸡和兔子在一个笼子里的问题,只要掌握了这个套路,我们还可以解决蘑菇和鸡在同一个笼子里的问题、兔子和螃蟹在同一个笼子里的问题、乃至螃蟹和蜈蚣在同一个笼子里的问题——反正最后就是一个二元一次方程组,我只要顺着题目的思路把方程列出来,碰到不知道的数字怎么办?用符号代替就行了,最后只要把这个方程组解开就可以得到正确的结果,而不用去让鸡和兔子抬脚了。

这就是方程的意义所在。让鸡和兔子都抬起两只脚,这是一种“奇思妙想”的解法,但是有了方程,我们可以随意用一个符号去代表我们不知道的数字,然后用问题当中的“事实”列出方程,然后加以求解。“奇思妙想”再也不需要了。

这正是数学的目标:不再需要这些“奇思妙想”。将问题进行抽象、建立数学模型,然后解决,用这一个套路就可以了。

而当我们跳出数学这一个学科,就会更加体会到代数的美妙。特别是物理。

在物理学领域,物理公式就是对数值之间“关系”的绝佳描述,而且还会有所拓展。

比如,一块钢铁,吸收了一定量的热能,温度就会有所上升,我们透过一系列控制变量法的实验,发现温度和热能、钢铁的质量成正比,我们就可以用一个方程来很简单地描述这一关系:

    \[E_H=c\cdot M\cdot \Delta T\]

这里有一个c这个常数,通过更换不同的物质做这样的实验,我们可以发现同一种物质在几次实验中的这个常数是一样的,而不同的物质之间则不同。这个数值就被物理学家命名为“比热容”,并且作为物质的性质之一加以研究。了解了比热容之后,就可以解释很多事情,比如为什么海边的昼夜温差比内陆小等等。

当然,科学家们是如何通过实验寻找这里的规律的,那就是另一个话题了。